Metody zapisu liczb binarnych ze znakiem

Każdą liczbę w systemie dziesiętnym możemy zapisać jako liczbę:

• dodatnią np. 14, 345, 345
• oraz jako liczbę ujemną np. -4, -7, -765

Jak widać system decymalny umożliwia nam zapis liczb ujemnych w bardzo prosty sposób – wystarczy dodać znak „-” przed liczbą. Jak jednak przeprowadzić taką operację w systemie binarnym? Od razu mogę wspomnieć iż nie mamy możliwości wstawić po prostu „minusa” przed liczbą. W celu konwersji liczby w systemie dwójkowym z dodatniej na ujemną zmuszeni jesteśmy posłużyć się jedną z poniższych metod. A są to:

• metoda znak-moduł (ZM)
• metoda uzupełnień do 2 (U2)

Każda z metod które przedstawiłem cechuje się innym sposobem zamiany oraz posiada różne wady i zalety które szczegółowo omówię poniżej.

 

Metoda znak-moduł (ZM)

W przypadku tej metody, rolę znaku określającego liczbę binarną przejmuję cyfra będąca pierwszą w kolejności (nazywana również liczbą najstarszą) a pozostałe cyfry stanowią liczbę binarną.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Znak liczby binarnej zależny jest od wyrażenia 1-2*.

W przypadku gdy po znaku mnożenia wstawimy liczbę 1 to wynik naszego wyrażenia będzie wynosił -1 ( i cała liczba stanie się ujemna).

Jeśli natomiast po znaku mnożenia znajdzie się liczba 0 to otrzymamy wynik 1 ( i cała liczba stanie się dodatnia). 

Innymi słowy: w tej metodzie jedyne co musimy zrobić by zmienić znak liczby binarnej to na jej początku dodać 0 lub 1.

Jeśli dodamy 1 cała liczba przyjmie wartość ujemną a jeśli dodamy 0 stanie się dodatnia.

 Sposób zapisu liczby w metodzie znak-moduł

Zamiana liczby binarnej w systemie ZM na liczbę dziesiętną przebiega dokładnie tak jak zamiana standardowej liczby. Jedyne o czym musimy pamiętać przy zamianie to konieczność pomnożenia całej liczby binarnej przez podstawę metody znak-moduł czyli 1-2*.

 

Cała operacja przebiega następująco:

0111101_(ZM) = (1-2*0) * (1*2⁰ + 0*2¹ + 1*2² + 1*2³ + 1*2⁴ + 1*2⁵) = 1 * 61 = 61

A teraz na początku podstawmy cyfrę 1:

1111101_(ZM) = (1-2*1) * (1*2⁰ + 0*2¹ + 1*2² + 1*2³ + 1*2⁴ + 1*2⁵) = -1 * 61 = -61

• Jedną z wad metody (ZM) jest brak możliwości wykonywania prostych operacji arytmetycznych co ogranicza ich stosowanie.

 

 

Metoda uzupełnień do 2 (U2)

W tej metodzie cyfra określająca znak jest zespolona z liczbą binarną co w przeciwieństwie to metody (ZM) pozwala na wykonywanie obliczeń arytmetycznych.

Podstawą w tej regule jest wyrażenie: a*(-2^b) + liczba binarna

a – liczba najstarsza

b – kolejność liczby najstarszej od lewej strony liczby binarnej

 Zamiana liczby zapisanej metodą U2 na liczbę w systemie dziesiętnym

Zamiana ujemnej liczby dziesiętnej na liczbę binarną metodą U2

• Wyznaczamy wartość bezwzględną liczby która mamy zamienić

-5₍₁₀₎ = |-5₍₁₀₎| = 5₍₁₀₎

•  Zamieniamy liczbę z systemu dziesiętnego na dwójkowy tradycyjnym sposobem:

5₍₁₀₎ = 101₍₂₎

• Jeżeli po zamianie liczba składa się z nieparzystej liczby cyfr uzupełniamy ją zerami najbardziej po lewej stronie do krotności liczby 2. Jeżeli nasza liczba składała się z 3 cyfr uzupełniamy ją do 4, jeśli składała się z 7 cyfr uzupełniamy ją do 8.

0101₍₂₎

• Kolejnym krokiem jest wykonanie negacji: wszystkie jedynki zamieniamy na zera, a zera na jedynki.

1010₍₂₎

• Ostatnim krokiem jest dodanie binarnej jedynki do naszej liczby.

1010₍₂₎ + 0001₍₂₎ = 1011₍₂₎

Po sprawdzeniu rozwiązania, udowodnimy prawidłowość przeprowadzenia obliczeń.

To już koniec tego artykułu. Mam nadzieję, że w odpowiednio prosty i klarowny sposób udało mi się wytłumaczyć Państwu obie metody dodawania znaków do liczb binarnych  🙂